Giovanni Poggi nacque a Firenze l’11 febbraio 1880. Dopo la laurea Lettere, si dedicò allo studio delle arti e intraprese la carriera di funzionario delle Antichità e Belle Arti ricoprendo il ruolo di ispettore straordinario delle Regie Gallerie di Firenze sotto la direzione di Corrado Ricci, personaggio con cui si troverà a collaborare anche nella gestione del dipinto ritrovato.
Dal 1906 ottenne la libera docenza in Storia dell’Arte medievale e moderna. L’anno successivo divenne Direttore del Museo Nazionale del Bargello, dove rimase per sei anni. In quel periodo si occupò del riordinamento del Museo, basando ogni progetto di revisione sulla ricerca storica su fonti archivistiche: questa spiccata predilezione lo portò a effettuare il ritrovamento delle Carte Vasari nell’archivio privato del conte Rasponi Spinelli, contenenti anche una ricca corrispondenza con Michelangelo.
Nel 1910 fu nominato soprintendente ai Monumenti per le province di Firenze, Lucca, Massa, Livorno, Arezzo e Pisa, e due anni dopo assunse anche la direzione della Galleria degli Uffizi. In quanto direttore della Galleria e testimone dei fatti, nel 1913 sarà coinvolto nella vicenda del ritrovamento e della successiva riconsegna de La Gioconda. Poggi fu infatti interrogato dalle autorità giudiziarie e incaricato di effettuare la perizia sul quadro, che permise di appurarne l’autenticità tramite un esame accurato e il confronto con alcune fotografie scattate da varie ditte (Alinari, Braun ecc.) prima del furto.
I due conflitti mondiali lo videro impegnato nella protezione delle opere d’arte a lui affidate. In particolar modo durante la Seconda Guerra Mondiale fece realizzare strutture protettive per i beni immobili e ricoverare in ambienti sicuri le opere mobili, individuando nelle campagne ville e palazzi che fungessero da depositi. Nell'immediato dopoguerra riuscì a riportare a Firenze la maggior parte delle opere e a riaprire quasi tutti i musei fiorentini.
Nel 1949 fu messo a riposo per sopraggiunti limiti di età, ma il comune di Firenze, a riconoscimento della sua esperienza e professionalità, lo nominò soprintendente agli istituti e ai monumenti di propria competenza. Morì a Firenze il 27 marzo 1961.